Для таких больных только интернат либо психбольница. Но в психбольницу без согласия пациента можно определить только если человек признан недееспособным.

Мы к этому психиатру обращались, но платно на дом приглашали.

Необходимо обратиться к психиатру или терапевту по месту жительства. Он направляет на комиссию, которая решает, что человек нуждается в стационарном обслуживании, после заключения комиссии необходимо обратиться в соцзащиту, они поставят на очередь в дом-интернат для престарелых и инвалидов . Можно миновать эту бюрократию и определить в частный интернат. Для оформления в КОПБ (и в любое психоневрологическое учреждение) необходимо лишение дееспособности в судебном порядке.
У бабушки была деменция. Никуда не оформляли, следили за ней по очереди все.

Деменция это не то заболевание, которое требует госпитализации в психиатрическую больницу. Тут либо просто консультация у психиатра, подбор подходящего лечения и уход дома, либо устройство в стационарное учреждение социального обслуживания (дом-интернат психоневрологического профиля), для этого Вы обращаетесь в орган опеки и попечительства по месту жительства, там Вам выдадут перечень необходимых документов для сбора. Одним из документов является заключение врачебной консультативной комиссии, где и прописывают необходимо признать гражданина недееспособным или нет, которое как раз необходимо получить в психиатрической больнице. Если в заключении пишут, что гражданин дееспособный, нет необходимости в признании недееспособным, тогда при оформлении в интернат необходимо его согласие, если же пишут, что необходимо признавать гражданина недееспособным, тогда оформление в интернат будет возможно только после того, когда гражданина признают недееспособным. Ещё один из вариантов это частные дома - интернаты.

6 лет назад был частный пансионат в Бабынино, вроде туда можно было оформить человека с деменцией

В платные пансионаты хоть сразу же заберут. Но вскоре вынесут вперед ногами.